רז מאיר הגיע כשחקן התקפה בגיל נוער מהפועל ראשון לציון, קבוצת האם שלו.
בחורף 2014 הצטרף למחלקת הנוער הירוקה וכבר בעונה הראשונה היה שותף לחווית הזכייה ב"דאבל" כולל שער בגמר הגביע מול הפועל חיפה (0:4). בעונתו השנייה בנוער הבקיע ארבעה שערי ליגה. את הופעת הבכורה שלו במדים הירוקים ערך במאי 2014 במשחק נגד הפועל באר שבע.
במכבי חיפה הוחלט להשאילו (קיץ 2015) לקבוצת בני יהודה כדי שיצבור דקות משחק וכעבור שנה עבר להפועל אשקלון, אף היא מליגת העל ובה היה מהבולטים בשחקניה שסייעו לה להישאר בחבורת העילית של הכדורגל הישראלי. ב-2017 חזר למועדון ומאז משחק כמגן ימני, מגן שמאלי ושחקן קישור. בקיץ 2019 האריך את חוזהו במכבי חיפה בשנתיים עם אופציה לעונה נוספת.